유효 숫자 (significant figure) ★

유효 숫자 (significant figure)

 

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▶ 참고: 제1장 물질과 측정. 목차

[ https://ywpop.tistory.com/15181 ]

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측정 장치/기구로 측정한 모든 “측정값의 마지막 숫자”는

항상 약간의 ‘불확실성’을 가지고 있습니다.

( 측정값에는 항상 기기오차와 인간(측정자)오차가 포함되어 있기 때문 )

 

 

 

불확실한 마지막 숫자까지 포함한

측정값의 모든 자릿수(= 숫자)를 ‘유효 숫자’라 합니다.

 

예) 2.5 g으로 표시한 질량의 유효 숫자는 2개, 2.5041 g은 5개.

 

 

 

[예제] 자의 단위는 mm이다. 이 자로 측정한 신용카드의 가로 길이는 몇 mm인가?

 

 

 

[해설] 자의 눈금 단위가 1 mm이므로, 1의 자리 수(까지)는 정확한 숫자이다.

만약 신용카드의 가로 길이를 85.4 mm로 읽었다면,

0.1의 자리 수는, 눈대중으로 짐작한 숫자이므로,

오차가 포함되어있는 불확실한 숫자이다.

유효숫자는 불확실한 숫자까지 포함하므로,

측정값 85.4 mm의 유효숫자 개수는 3개이다.

 

[참고] 위 신용카드의 가로 길이를

가령, 85.39 mm 또는 85.41 mm와 같이 읽을 수는 없다.

눈대중으로 짐작할 수 있는 숫자의 자릿수는

정확한 자릿수의 딱 한 자릿수 아래까지만 가능하다.

 

 

 

▶ 유효숫자의 정의

> 확실한 측정값의 자릿수에 추정(= 눈대중) 자릿수 하나를 더해서 표기한 값

> 확실한 측정값의 자릿수 = 85, 즉 1의 자릿수.

> 추정 자릿수 = 0.4, 즉 0.1의 자릿수.

 

 

 

( 다시 한 번 더 강조하지만, 측정값이란 실험하는 사람(인간)이

자 또는 저울 등과 같은 측정 기구(도구)를 사용해서 직접 측정한 값을 말합니다.

자신의 실험에서 자신 스스로가 직접 측정한 값. )

 

 

 

 

[ 관련 예제 https://ywpop.tistory.com/24597 ]

어떤 액체가 눈금 실린더에 담겨 있다.

유효 숫자를 고려하여 액체의 부피를 mL 단위로 쓰시오.

 

 

 

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[측정값의 유효 숫자 개수 구하기]

▶ 0을 제외한 모든 숫자는 유효 숫자이다.

( 참고: 0의 유효숫자 개수 https://ywpop.tistory.com/24675 )

 

▶ 단, 유효 숫자 사이에 있는 0은 유효 숫자이다.

예) 100.2의 유효숫자 ---> 4개

예) 2.001의 유효숫자 ---> 4개

 

▶ 소수점을 가진 수에서 맨 앞에 있는 0은

( 소수점을 가진 수에서 유효 숫자 왼쪽에 있는 0 )

유효 숫자가 아니다, 단지 소수점의 위치를 나타내기 위해 써놓은 것일뿐.

 

▶ 자연수에서 유효 숫자 오른쪽에 있는 0도

유효 숫자가 아니다, 단지 자리 수를 나타내기 위해 써놓은 것일뿐.

( 참고: “유효숫자 인지, 아닌지 알 수 없다.”는 의견도 있습니다. )

( 참고 https://www.youtube.com/watch?v=LVe9nQo-VkU&feature=youtu.be&t=450 )

[ 관련 글 https://ywpop.tistory.com/10839 ] 자연수에서 유효숫자 오른쪽에 있는 0

 

 

 

 

측정값	유효 숫자 개수
1004 kg	4
0.0023 cm	2
0.01200 g	4
2.0 mL	2
1.05×10^2 g	3
1.050×10^2 g	4
100 m	1
1.00×10^2 m	3
100. m	3
100.0 m	4

 

 

300x250

 

 

예제) 다음 숫자에서 유효 숫자는 각각 몇 개인가?

a) 4867 mi

b) 56 mL

c) 60104 ton

d) 2900 g

e) 40.2 g/mL

f) 0.0000003 cm

g) 0.7 min

h) 4.6×10^19 원자

i) 0.0250×10^(-3) M

 

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a) 4867 mi ---> 4개

b) 56 mL ---> 2개

c) 60104 ton ---> 5개

d) 2900 g ---> 2개

( 참고: 2900. g ---> 4개 )

e) 40.2 g/mL ---> 3개

f) 0.0000003 cm ---> 1개

g) 0.7 min ---> 1개

h) 4.6×10^19 원자 ---> 2개

i) 0.0250×10^(-3) M ---> 3개

( 지수형 숫자는 ×10^n 앞에 있는 숫자로 판단한다. )

( 예제 https://ywpop.tistory.com/6185 )

 

 

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[완전수. Exact Numbers]

다음에 해당하는 수를 완전수라 하며,

측정값의 유효 숫자 개수를 결정할 때

완전수는 포함시키지(고려하지) 않습니다.

( 모두 실험자 스스로 측정 장치/기구를 사용하여 측정한 값이 아님 )

( 완전수의 유효숫자 개수는 무한대로 간주하므로... )

( 참고 https://ywpop.blogspot.com/2024/03/blog-post_6.html )

 

▶ Lange's Handbook of Chemistry와 같은 문헌에서 찾은(인용한) 값

 

▶ 실험 3번, 비커 3개 등과 같이 측정 장치를 사용하여 측정한 값이 아니라

세어서 구한 값 ( 예제 https://ywpop.tistory.com/4913 )

 

▶ 2πr(원주)에서, 2와 3.14159처럼 공식에 나와 있는 값

( 참고: 다른 의견 https://ywpop.tistory.com/11060 )

 

▶ 물리적/화학적 상수 값 ( 원소 주기율표에 나오는 원자량도 완전수 )

( 참고 https://ywpop.tistory.com/3255 )

 

▶ 단위 환산에 사용된 값 (= 환산 인자)

예) 1 in. = 2.54 cm 를 사용한 계산에서, 1과 2.54는 유효 숫자 개수와 무관하다.

( 예제 https://ywpop.tistory.com/4866 )

( 참고: 다른 의견 https://ywpop.tistory.com/11060 )

 

▶ 측정값들의 평균을 구하기 위해 나누어 준 값

예) 4회 측정한 값들의 평균을 구하기 위해 나누어 준 숫자 4.

( 참고 https://ywpop.tistory.com/6777 )

 

 

 

 

[유효 숫자 계산 방법]

[ https://ywpop.tistory.com/3211 ]

 

 

 

 

[ 관련 글 https://ywpop.tistory.com/11072 ] 유효숫자 처리를 하지 않는다

 

[ 관련 글 https://ywpop.tistory.com/13300 ] 실제 과학계산에서 유효숫자 처리(다루기)

 

[ 관련 글 https://ywpop.tistory.com/6868 ] 과학적 표기법

 

 

 

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[참고] 대부분 대학 교재에서 유효숫자에 대한 설명은 1장에 나옵니다.

그리고 대부분 교재에서 2, 3, 4장까지는

( 또는 시험문제라면 1학기 중간고사까지는 )

유효숫자를 고려(적용)하여 계산합니다.

 

그러나 여기까지가 다입니다.

이후부터는 교재마다, 교수마다 차이가 나겠지만,

유효숫자를 고려(적용)하지 않고 계산할 수도 있습니다.

 

0.5000 M, 2.100×10^6 J처럼

숫자 끝자리에 0을 표시하여 유효숫자를 나타낸 것 같은 분위기(?)가 아니거나,

또는 “유효숫자를 고려하여 계산하시오.”라는 요구사항이 따로 없으면,

너무 유효숫자에 연연해하지 마세요.

 

만약 교재에 나오는 정답이 유효숫자가 안 맞으면,

“아~ 교재 저자가 유효숫자를 고려하지 않았구나!”라고 생각하고 그냥 넘어가세요.

[ 관련 글 https://ywpop.tistory.com/13300 ] 유효숫자는 개나 줘

 

 

 

 

[유효숫자를 무시하는 경우. 유효숫자를 고려하지 않는 경우]

Q. 하버공정의 25℃에서 표준 자유 에너지 변화는 –33.3 kJ/mol이다.

ΔG값을 사용하여 25℃에서 이 반응의 평형상수 K를 구하시오.

 

문제 지문에 나오는 숫자는 25와 –33.3인데,

이 두 개의 숫자는 이 문제를 해결하려는 학생 또는 연구원이

직접 스스로 측정도구를 사용해서 측정한 ‘측정값’이 아니다.

 

케미컬 핸드북 또는 일반화학 교재 뒤쪽 부록에서 찾은

‘문헌값’이다.

 

“문헌값은 완전수”이므로,

평형상수 K는 유효숫자를 고려해서 답을 쓸 필요가 없다.