편미분과 전미분 계산

편미분과 전미분 계산

 

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1. 편미분

 

 

 

(1)식과 같이 독립변수가 2개 이상인 함수의 미분을 생각해 보자.

두 독립변수 x1, x2 각각의 변화에 따라 종속변수 y의 값이 변하게 된다.

이런 경우, y가 갖는 값의 범위(치역)는 보통 3차원을 형성한다. 이 변화를 한꺼번에 관찰하는 것은 쉽지 않기 때문에 x1과 y의 변화에 대한 관계를 관찰할 때는 x2를 고정(상수 취급)시키고 미분한다.

이러한 미분을 편미분이라 한다.

 

 

 

 

 

 

 

2. 전미분

 

 

 

(2)식을 x1과 x2에 대해 편미분 하면 각각 (3)식, (4)식이 된다. 이제 전미분을 정의하자.

 

 

 

 

 

(5)식이 (2)식의 전미분 식이다.[ (5)식에서 좌항은 y가 아니라 dy입니다. ]

 

(5)식을 보면, x1으로 편미분한 값을 괄호로 묶어 dx1이라는 표식을 붙이고, x2로 편미분한 값을 괄호로 묶어 dx2라는 표식을 붙인 후 더했다.

 

일반적으로, 전미분이란 각각의 독립변수 xi로 편미분한 값을 괄호로 묶고 거기에 dxi라는 표식을 붙인 후 모두 더한 것을 의미한다.