세 수의 최대공약수, 최소공배수 구하기

세 수의 최대공약수, 최소공배수 구하기

[A, B, C] ＝ [(A, B), C], 즉 두 수의 최대공약수와 나머지 한 수의 최대공약수가 세 수의 최대공약수가 된다. 네 수 이상에서도 같은 방법으로 계산할 수 있다.

최소공배수에서도 [A, B, C] ＝ [(A, B), C]가 성립한다.

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예제1) 공약수로 나누어 (24, 36, 42)의 최대공약수 구하기

풀이)

2	24, 36
2	12, 18
3	6, 9
	2, 3

(24, 36)의 최대공약수 = 2×2×3 = 12

2	12, 42
3	6, 21
	2, 7

∴ 따라서 (24, 36, 42)의 최대공약수 = 2×3 = 6

24의 약수 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 36의 약수 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 42의 약수 = 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

예제2) 공약수로 나누어 (24, 36, 42)의 최소공배수 구하기

풀이)

2	24, 36
2	12, 18
3	6, 9
	2, 3

(24, 36)의 최소공배수 = 2×2×3×2×3 = 72

2	72, 42
3	36, 21
	12, 7

∴ 따라서 (24, 36, 42)의 최소공배수 = 2×3×12×7 = 504

504/24 = 21 504/36 = 14 504/42 = 12

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그런데 세 수를 한꺼번에 공약수로 나누어 최대공약수 또는 최소공배수를 구할 수도 있는데, 이때는 최대공약수와 최소공배수를 구하는 방법이 다르다는 것에 주의해야 한다.

* 먼저 최대공약수를 구해보자. 두 수의 경우와 마찬가지로 세 수의 공약수로 나누어 준다. 4, 6, 7에서 1을 제외한 더 이상의 세 수의 공약수가 없기 때문에, 최대공약수는 6이 된다. 그러나 최소공배수는 504가 아닌 1,008임에 주목하자.

2	24, 36, 42
3	12, 18, 21
	4, 6, 7

최대공약수 = 2×3 = 6(○)

2	24, 36, 42
3	12, 18, 21
	4, 6, 7

최소공배수 = 2×3×4×6×7 = 1,008(×) → 504(○)

* 다음 최소공배수를 구해보자. 두 수의 경우와 마찬가지로 세 수의 공약수로 나누어 준다. 단, 최소공배수를 구할 때는 세 수 중에서 두 수의 공약수가 있으면 계속 나누어 준다(나머지 1개의 수는 그대로 둔다). 2, 3, 7에서 1을 제외한 더 이상의 두 수의 공약수가 없기 때문에, 최소공배수는 504가 된다. 그러나 최대공약수는 6이 아닌 12임에 주목하자.

2	24, 36, 42
3	12, 18, 21
2	4, 6, 7
	2, 3, 7

최소공배수 = 2×3×2×2×3×7 = 504(○)

2	24, 36, 42
3	12, 18, 21
2	4, 6, 7
	2, 3, 7

최대공약수 = 2×3×2 = 12(×)

* 결론적으로, 세 수를 한꺼번에 공약수로 나누어 계산할 경우에는 두 수의 경우와 같이 한 번에(동시에) 최대공약수와 최소공배수를 구할 수 없으며,

1) 최대공약수는 반드시 세 수의 공약수로만 나누어 계산해야 하며,

2) 반면에, 최소공배수는 세 수 중에서 두 수의 공약수가 있으면 그 공약수로도 나누어 계산해야 한다.

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예제3) 공약수로 나누어 (4, 8, 16)의 최대공약수 구하기

풀이)

2	4, 8, 16
2	2, 4, 8
	1, 2, 4

∴ 최대공약수 = 2×2 = 4

또는

2	4, 8
2	2, 4
	1, 2

(4, 8)의 최대공약수 = 2×2 = 4

2	4, 16
2	2, 8
	1, 4

∴ 최대공약수 = 2×2 = 4

예제4) 공약수로 나누어 (4, 8, 16)의 최소공배수 구하기

풀이)

2	4, 8, 16
2	2, 4, 8
2	1, 2, 4
	1, 1, 2

∴ 최소공배수 = 2×2×2×1×1×2 = 16

또는

2	4, 8
2	2, 4
	1, 2

(4, 8)의 최소공배수 = 2×2×1×2 = 8

2	8, 16
2	4, 8
2	2, 4
	1, 2

∴ 최소공배수 = 2×2×2×1×2 = 16